我们在各种软件中常见到的图形或者物体的变换，例如旋转、平移、放缩、投影等，都是以矩阵变换的形式来计算的，接下来讨论这些矩阵变换。

二维变换

可以用一个二维矩阵来表示二维空间运算：

放缩

(资料图)

放缩的矩阵运算可表示为：

自由拉伸

x轴和y轴方向的拉伸可分别表示为：

其中为拉伸角度的正切值

旋转

将一个图形逆时针旋转角度：

镜像

关于x轴和y轴分别作镜像变换：

组合变换

在进行多个变换时，假设先进行一个S变换，再进行R变换，则有，复合变换，即可以用一个矩阵来表示若干个变换运算

三维变换

与二维变换对应的，三维变换在形式上很类似：

放缩

旋转

自由拉伸

法线向量变换

现在如果要对一个三维物体的表面以矩阵进行变换，假设变换前的法线向量为，那么对法线向量同样进行矩阵变换操作得到的新向量通常不会垂直于新的物体表面。我们定义法线向量需要通过矩阵的变换操作才垂直新的物体表面，变换前物体表面的一条切线为，变换后此切线变为，那么有：

若要求解在物体进行变换后法线向量的变换情况：

平移(Translation)与仿射(Affine)

在二维空间中首先进行一个变换（拉伸、旋转、缩放），再进行一个平移变换，可以用一个三阶方阵来表示：

坐标系变换

通常上来说一个坐标系统，包括一个原点和一组正交基，则坐标系可以被描述为：

假设在一个坐标系中使用作为原点，为正交基，其中有一点，进行坐标系变换后，使用作为原点，作为正交基

按照平移与仿射变换：

有：

即：

同理，扩展到三维空间上，有：

关键词：