(资料图片仅供参考)

1、证明：不失一般性，令：F(x)=f[x+(1/2)] - f(x)根据题意，显然。

2、F(x)在[0,1/2]上连续又∵F(0)=f(1/2)-f(0)F(1/2)=f(1)-f(1/2)根据题意：f(0)=f(1)∴F(0)= -F(1/2)根据零点定理，至少∃ξ∈(0,1/2)，使得：F(ξ)=0即：f[ξ+(1/2)] - f(ξ)=0因此：f[ξ+(1/2)]=f(ξ)当：F(0)=F(1/2)=0时。

3、有：f(1)-f(1/2)=0f(1)=f(1/2)取ξ=1/2，则：f[ξ+(1/2)]=f(ξ)也成立综上：至少∃ξ∈(0,1/2]，使得：f[ξ+(1/2)]=f(ξ)证毕！。

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